设a>0,且a≠1，比较loga(a³+1)与loga(a²+1)的大小

(a^3+1)-(a^2+1)
=a^3-a^2
=a(a^2-1)

若0<a<1
则a^2-1<0.a>0
所以a(a^2-1)<0
a^3+1<a^2+1
底数小于1，则真数大的对数值小
所以loga(a^3+1)>loga(a^2+1)

若a>1
则a^2-1>0.a>0
所以a(a^2-1)>0
a^3+1<a^2+1
底数大于1，则真数大的对数值大
所以loga(a^3+1)>loga(a^2+1)

综上
loga(a^3+1)>loga(a^2+1)

分情况讨论
1 0＜a＜1
则a^3＜a^2
所以1＜a^3+1＜a^2+1
又logax为减
所以loga(a^3+1)＞loga(a^2+1)
2 a＞1
则a^3＞a^2
所以a^3+1＞a^2+1＞1
又logax为增
所以loga(a^3+1)＞loga(a^2+1)
综合 1 2
loga(a^3+1)＞loga(a^2+1)